Juste la question d’une enfant précoce.

[Chevie]

Chevie, le 21 novembre 2014 à 19 h 15 min

Bonjour à tous.
C’est mon premier sujet, mais j’aimerai commencer par poser une question qui me travaille depuis pas mal de temps.
Une question que j’ai posé à mon professeur de Physique, qui m’a demandé de la poser à mon professeur de Mathématiques parce qu’elle ignorait la réponse.
C’est ce que j’ai fais, mais elle s’est énervée sous prétexte que ce n’était pas du programme de 4e mais de lycéen et qu’a force de lui poser des questions comme celle-ci je l’agaçais.
Je n’ai pas insisté.
Voici donc ma question.

“Pourquoi, par convention, zéro factoriel vaut un ?”

Oui, ça peut paraître un peu stupide comme ça. Mais ce n’est pas aussi simple que vous ne le pensez.
Merci d’avoir lu ce sujet et de vos réponses !

[Guillaume]

Guillaume, le 29 novembre 2014 à 14 h 36 min

Bonjour,

Je suis étudiant en maths et je vais essayer de te donner mon explication à ta question :

On peut écrire les formules des factorielles des premiers nombres entiers :

1! = 1
2! = 1 x 2
3! = 1 x 2 x 3
…
n! = 1 x 2 x … x n

On remarque que pour chaque entier n, la factorielle de n est un produit de n facteurs. Par extension, on voit que la factorielle de 0 est un produit de 0 facteurs. Un tel produit est appelé « produit vide ».

En fait, la convention selon laquelle 0! = 1 est un cas particulier d’une autre convention selon laquelle le produit vide vaut 1. Nous devons donc nous demander quelle est l’origine de cette deuxième convention.

Pour cela, considérons un produit, par exemple 2 x 3. Demandons-nous ce qui se passe si on ajoute un ou plusieurs facteurs à ce produit. Par exemple, si on ajoute les facteurs 4 et 5, on a :

2 x 3 x 4 x 5 = (2 x 3) x (4 x 5) = 6 x 20 = 120.

De même, si on n’ajoute aucun facteur au produit considéré, on a :

2 x 3 = (2 x 3) x (le produit vide) = 6.

On voit que le résultat d’un produit doit rester inchangé si on le multiplie par le résultat du produit vide. Le produit vide doit donc être égal à 1. En effet, 1 est le seul nombre qui, lorsqu’on multiplie un autre nombre par lui, laisse le résultat inchangé : on dit que c’est l’élément neutre de la multiplication.

La convention sur le produit vide permet de généraliser simplement certains résultats mathématiques. Par exemple, les factorielles sont souvent définies par récurrence :

1! = 1
(n + 1)! = (n + 1) (n!)

Avec la convention sur le produit vide (et donc sur la factorielle de 0), la deuxième relation est aussi vérifiée pour n = 0 :

(0 + 1)! = 1! = 1 = (0 + 1) 1 = (0 + 1) 0!

Voilà, j’espère que ça répond un peu à ta question et que ce n’est pas trop technique.

[Chevie]

Chevie, le 30 novembre 2014 à 15 h 09 min

@Guillaume :
Merci beaucoup pour votre réponse 🙂
J’ai compris, et en fait, c’est logique.
Merci encore !

[Auteur]

Messages